Rentestrukturen

Læringsmål

• Forstå hvad rentestrukturen (yield curve) er, og hvorfor den er central for prisfastsættelse
  
• Skelne horisontal vs. vertikal rentestruktur og tolke kurvens form
  
• Forklare hvorfor effektiv rente (YTM) er et begrænset afkastmål
  
• Bruge nulkuponrenter/discountfaktorer til at prisfastsætte cashflows (bootstrapping-intuition)
  
• Kende hovedforklaringer: forventningshypotesen, løbetids-/likviditetspræmie, segmentering
  
• Forstå principper for estimation af en glat rentestruktur og sammenholde med markedspriser

Hvad er rentestrukturen?

• En kurve over risikofri (eller næsten risikofri) renter for forskellige løbetider
  
• Bruges til diskontering af en betalingsstrøm:
  \[ P = \sum_{t=1}^{N} \frac{CF_t}{(1 + r_t)^t} \;=\; \sum_{t=1}^{N} CF_t \cdot d(t) \] hvor \(r_t\) er nulkuponrenten og \(d(t)\) diskonteringsfaktoren
  
• Giver både afkastmål (spot/forward/par) og risikomål (reaktion på kurvebevægelser)

Horisontal vs. vertikal rentestruktur

• Horisontal: samme instrumenttype (fx statsobligationer), varierende løbetid → klassisk yield curve
  
• Vertikal: samme løbetid, varierende egenskaber (kupon, likviditet, kredit, skat) → forklare spreads
  
• Begge perspektiver bruges i praksis, men til forskellige spørgsmål

Hvorfor er YTM utilstrækkelig?

• Gennemsnitlig intern rente på hele cashflowet – blander korte og lange renter
  
• Antager reinvestering af kuponer til samme rente → sjældent realistisk
  
• To obligationer kan have samme YTM, men meget forskellig kurvefølsomhed
  
• Løsning: arbejd periode for periode med nulkuponrenter og discountfaktorer

Pris som sum af diskonterede betalinger

• Med YTM \(r\) (for overskuelighed) skrives:
  \[ K = \sum_{t=1}^{N} \frac{Y(t)}{(1+r)^t} \]
• Bedre i praksis: brug rentestrukturen
  \[ K \;=\; \sum_{t=1}^{N} \frac{Y(t)}{(1+z_t)^t} \;=\; \sum_{t=1}^{N} Y(t)\cdot d(t) \]
• Hermed matcher hver betaling sin egen relevante termrente

Bootstrapping-intuition via markedseksempel

Obligationsmarked (stående lån)

• 1Y er også en nulkupon: \(100{,}96 = 105/(1+n_1)\) → \(n_1=4{,}00\%\).
  
• 2Y: \(101{,}91 = 6/(1{+}0{,}04) + 106/(1{+}n_2)^2\) → \(n_2\approx 5{,}00\%\).
  
• 3Y: \(102{,}92 = 7/(1{+}0{,}04) + 7/(1{+}0{,}05)^2 + 107/(1{+}n_3)^3\) → \(n_3\approx 6{,}00\%\).

Diskonteringsfaktorer (fra nulkuponrenter)

• Generelt: \(d_t=\dfrac{1}{(1+n_t)^t}\).
  
• Med \(n_1{=}4\%\), \(n_2{=}5\%\), \(n_3{=}6\%\):
  \(d_1=0{,}9615,\; d_2=0{,}9070,\; d_3=0{,}8396\).

Kuponobligation = portefølje af nulkuponer

• En kuponobligations cashflow kan gengskabes 1:1 med nulkuponer i de samme tidspunkter
  
• Derfor skal prisen være lig prisen på den tilsvarende nulkupon-portefølje
  
• Ellers opstår arbitrage (sælg den dyre/køb den billige)

Typiske former

• Stigende/stejl: højere lange renter end korte (vækst/normalisering)
  
• Flad: små renteforskelle (usikkerhed/overgang)
  
• Inverteret: korte renter > lange (stram pengepolitik/recessionsfrygt)

Forventningshypotesen (EH)

• Lange renter ≈ forventet gennemsnit af fremtidige korte renter
  
• Intuition: investor er neutral over for løbetid → kun forventninger driver kurven
  
• Begrænsning: matcher ofte niveau/slope dårligere i praksis uden præmier

Løbetids-/likviditetspræmie (TP)

• Investorer kræver typisk ekstra præmie for at binde kapital længere og bære kurserisiko/likviditet
  
• Lange renter = forventet kort rente + løbetidspræmie (stigende med løbetid)
  
• Hjælper med at forklare vedvarende positiv hældning

Markedssegmentering

• Forskellige investorer har præferencer/mandater for bestemte løbetider
  
• Efterspørgsel/udbud i adskilte segmenter → dele af kurven kan bevæge sig uafhængigt
  
• Fx banker (korte), pensionskasser (lange) → lokale niveauer og slopes

Mål: En glat og arbitragefri kurve

• Data: observationer af priser/renter på likvide papirer (oftest statsobligationer)
  
• Krav: ingen arbitrage, glat forløb, god fit til markedet
  
• Metoder (intuition): bootstrapping (fra korte til lange), splines, parametriske (fx NSS)
  
• Output: diskonteringsfunktion \(d(t)\) og nulkuponrenter \(z_t\)

Teoretisk kurve vs. markedspriser

• Modeller approksimerer markedet; små afvigelser er normale
  
• Store systematiske afvigelser → dataproblem, modelvalg eller illikviditet

Definition (glat rentestruktur)

• En robust rentestruktur bygger på finansiel logik (ingen arbitrage)
  
• Interpolation skal sikre glathed mellem datapunkter (ingen “hak”)
  
• Kurven bruges konsistent til både pris og risikomål på tværs af løbetider

Standardopskrift

1. Find relevante nulkuponrenter \(z_t\) (eller \(d(t)\)) for alle betalingsdatoer
   
2. Diskontér hver betaling: \(PV_t = CF_t \cdot d(t)\)
   
3. Læg sammen: \(P = \sum PV_t\)
   
4. Man kan herfra udlede YTM på obligationen fra prisen – men pris kommer fra kurven

Teoretisk pris vs. markedspris (formler)

• Teoretisk (nulkupon):
  \[ K^{*} + v \;=\; \sum_{t=1}^{N} \frac{y_t}{(1 + n_t)^{t}} \]
• Markedspris (YTM):
  \[ K + v \;=\; \sum_{t=1}^{N} \frac{y_t}{(1 + r)^{t}} \]
• \(n_t\): nulkuponrente for termin \(t\); \(r\): effektiv rente anvendt på hele CF’et.

Nettonutidsværdi (NNV) og mispricing

• NNV = \(K^{*} - K\).
  
• Tolkning:
  • \(K^{*}-K > 0\) → undervurderet (teoretisk > marked).
    
  • \(K^{*}-K < 0\) → overvurderet (teoretisk < marked).
    
• Bruges til at spotte afvigelser vs. “kurve-konsistente” priser.

Eksempel: DK0009924961 (2,25% 2035)

Nedenfor NV via nulkuponkurven (afrundet):

Konklusion: \(K^{*}=100{,}64\), \(K=100{,}63\) ⇒ NNV = 0,01 → let undervurderet.

Prisfølsomhed under forskellige kurver (eksempel)

Vi prissætter en 4% kuponobligation (H=1000) under to rentestrukturer (årlig):

Resultat: Kurs (lav) ≈ 103,61 ; Kurs (høj) ≈ 80,73.
Højere kurver → hårdere diskontering → lavere pris.

Kurvebevægelser og prisfølsomhed

• Parallelle skift: alle \(z_t\) flytter sig ≈ simpel varighedsrespons
  
• Stejling/udfladning: korte vs. lange renter flytter forskelligt
  
• Kurvatur: midten bevæger sig relativt til enderne
  
• Derfor: risikomål bør relatere til kurvescenarier, ikke kun én YTM. Men vi skal se, at i praksis tager man begge i brug.

Takeaways

• Rentestrukturen er fundamentet for pris og risiko i renteprodukter
  
• YTM er praktisk, men misvisende: brug nulkuponrenter/discountfaktorer
  
• Kurvens form afspejler forventninger, præmier og segmentering
  
• En glat, arbitragefri kurve muliggør konsistent prisfastsættelse
  
• Tænk i kurvebevægelser (parallel, steepen/flatten, kurvatur) for risiko og scenarier